Nous allons exprimer la vitesse du point M dans le repère absolu OXYZ:
\[\overrightarrow{V_a(M)} = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} = \frac{d(\overrightarrow{Oo}+\overrightarrow{oM})}{dt} = \frac{d \overrightarrow{Oo}}{dt} + \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt}\]
On montre que cette expression peut s'écire:
\[\overrightarrow{V_a(M)} = \overrightarrow{V_a(o)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM} + \overrightarrow{V_r(M)}\]
Avec:
\(\overrightarrow{V_a(M)}\) = vitesse absolue de M dans le repère OXYZ
\(\overrightarrow{V_a(o)}\) = vitesse absolue de o dans le repère OXYZ, déplacement de l'origine du repère oxyz dans OXYZ
\(\overrightarrow{V_r(M)}\) = vitesse relative de M dans le repère oxyz
\( \overrightarrow{\Omega}\) = vecteur rotation instantanée du repère oxyz par rapport au repère OXYZ
On appelle \(\overrightarrow{V_e(M)}\) la vitesse d'entrainement de M la vitesse due au mouvement du repère oxyz:
\[\boxed{\overrightarrow{V_e(M)} = \overrightarrow{V_a(o)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM}}\]
Il en résulte que: \[\boxed{\overrightarrow{V_a(M)} = \overrightarrow{V_e(M)} + \overrightarrow{V_r(M)}}\]
Démonstration
\(\overrightarrow{V_a (M)} = \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} = \frac{d(\overrightarrow{Oo}+\overrightarrow{oM})}{dt} = \frac{d \overrightarrow{Oo}}{dt} + \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \overrightarrow{V_a (o)} + \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt}\). Il nous faut déterminer \( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt}\) avec
\(\overrightarrow{oM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}\) ou encore \( \overrightarrow{oM} = \pmatrix{x \\ y \\ z }\)
Dérivons \(\overrightarrow{oM}\) afin de trouver la vitesse de M dans le repère oxyz
\( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \frac{dx}{dt} \overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt} \overrightarrow{j} + \frac{dz}{dt} \overrightarrow{k} + x \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} + y \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} + z \frac{d \overrightarrow{k}}{dt}\)
\(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \) varient dans le temps car le repère oxyz est mobile par rapport au repère OXYZ. Donc leur dérivée n'est pas nulle. Nous devons calculer \(\frac{d \overrightarrow{i}}{dt}, \frac{d \overrightarrow{j}}{dt}, \frac{d \overrightarrow{k}}{dt}\), qui sont eux aussi des vecteurs.
Dans un repère orthogonale, nous savons que \(\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i} = 1 \space\), que \( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{j} = 0 \), que \( \overrightarrow{i} .\overrightarrow{k} = 0\), et que \( \overrightarrow{j} .\overrightarrow{k} = 0\)
notons: \(\frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = \pmatrix{a \\ b \\ c} \space ; \space \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} = \pmatrix{e \\ f \\ g} \space ; \space \frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \pmatrix{h \\ l \\ m} \) et calculons les coefficients a, b, c, e, f, g, h, l, m.
\( \overrightarrow{i}.\overrightarrow{i} = 1 = cte \Rightarrow \frac{d}{dt} ( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{i}) = 0 \) et
\( \frac{d}{dt} ( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{i}) = \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} . \overrightarrow{i} + \overrightarrow{i} . \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = 2 \overrightarrow{i} . \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = 0 \space \Rightarrow \overrightarrow{i} . \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = 0 \)
\(\overrightarrow{i} . \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}. \pmatrix{a \\ b \\ c} = a\) donc \(\boxed{a = 0}\)
De la même manière, comme \(\overrightarrow{j}.\overrightarrow{j} = 1 \space\) , et que \(\overrightarrow{k}.\overrightarrow{k} = 1 \space\), on démontre que \(\boxed{f = 0}\) et \(\boxed{m = 0}\)
Nous arrivons à \(\frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = \pmatrix{0 \\ b \\ c} \space ; \space \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} = \pmatrix{e \\ 0 \\ g} \space ; \space \frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \pmatrix{h \\ l \\ 0} \)
\( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{j} = 0 = cte \Rightarrow \frac{d}{dt}( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{j}) = 0\)
\(\frac{d}{dt}( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{j}) = \frac{d \overrightarrow{i}}{dt}. \overrightarrow{j} + \overrightarrow{i}. \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} = \pmatrix{0 \\ b \\ c}.\pmatrix{0 \\ 1 \\ 0} + \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}.\pmatrix{e \\ 0 \\ g} = b +e = 0 \Rightarrow \boxed{e=-b} \)
\( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{k} = 0 = cte \Rightarrow \frac{d}{dt}( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{k}) = 0\)
\(\frac{d}{dt}( \overrightarrow{i} . \overrightarrow{k}) = \frac{d \overrightarrow{i}}{dt}. \overrightarrow{k} + \overrightarrow{i}. \frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \pmatrix{0 \\ b \\ c}.\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1} + \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}.\pmatrix{h \\ l \\ 0} = c +h = 0 \Rightarrow \boxed{h=-c} \)
\( \overrightarrow{j} . \overrightarrow{k} = 0 = cte \Rightarrow \frac{d}{dt}( \overrightarrow{j} . \overrightarrow{k}) = 0\)
\(\frac{d}{dt}( \overrightarrow{j} . \overrightarrow{k}) = \frac{d \overrightarrow{j}}{dt}. \overrightarrow{k} + \overrightarrow{j}. \frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \pmatrix{e \\ 0 \\ g}.\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1} + \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0}.\pmatrix{h \\ l \\ 0} = g +l = 0 \Rightarrow \boxed{l=-g} \)
Nous avons maintenant: \(\frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = \pmatrix{0 \\ b \\ c} \space ; \space \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} = \pmatrix{-b \\ 0 \\ g} \space ; \space \frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \pmatrix{-c \\ -g \\ 0} \)
On remarque que ces 3 expressions résultent du produit vectoriel d'un vecteur \(\overrightarrow{\Omega} \pmatrix{g \\ -c \\ b} \) par les vecteur \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{k}\). En effet:
\(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{i} =\pmatrix{g \\ -c \\ b} \wedge \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0 } = \pmatrix{0 \\ b \\ c }=\frac{d \overrightarrow{i}}{dt} \Rightarrow \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{i} \)
\(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{j} =\pmatrix{g \\ -c \\ b} \wedge \pmatrix{0 \\ 1 \\ 0 } = \pmatrix{-b \\ 0 \\ g }=\frac{d \overrightarrow{j}}{dt} \Rightarrow \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{j} \)
\(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{k} =\pmatrix{g \\ -c \\ b} \wedge \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1 } = \pmatrix{-c \\ -g \\ 0 }=\frac{d \overrightarrow{k}}{dt} \Rightarrow \frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{k} \)
\(\overrightarrow{\Omega}\) est appelé vecteur rotation instantanée du trièdre oxyz par rapport au trièdre OXYZ. Les 3 expressions ci-dessus seront réutilisées pour la composition des accélérations.
En définitive, nous avons:
\( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \frac{dx}{dt} \overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt} \overrightarrow{j} + \frac{dz}{dt} \overrightarrow{k} + x \frac{d \overrightarrow{i}}{dt} + y \frac{d \overrightarrow{j}}{dt} + z \frac{d \overrightarrow{k}}{dt}\)
\( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} =( \frac{dx}{dt} \overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt} \overrightarrow{j} + \frac{dz}{dt} \overrightarrow{k}) + x( \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{i}) + y(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{j}) + z(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{k})\)
\( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \overrightarrow{V_r(M)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge (x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k})\)
\[\boxed{ \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \overrightarrow{V_r(M)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM}}\]
Cette expression nous servira pour la composition des accélérations
En définitive, nous avons:
\[\boxed{\overrightarrow{V_a(M)} = \underbrace{\frac{d \overrightarrow{Oo}}{dt}}_{\overrightarrow{V_a(o)}} + \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \underbrace{\overrightarrow{V_a(o)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{(oM)}}_{\overrightarrow{V_e(M)}} + \overrightarrow{V_r(M)}}\]