Nous allons exprimer l'accélération du point M dans le repère absolu OXYZ:
\[\overrightarrow{\Gamma_a(M)} = \frac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2} = \frac{d^2 \overrightarrow{Oo}}{dt^2} + \frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2} \]
On démontre que cette expression peut encore s'écrire sous la forme
\[\overrightarrow{\Gamma_a(M)} = \overrightarrow{\Gamma_a(o)} + \frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM} + \overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM)} + 2 \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)} + \overrightarrow{\Gamma_r(M)} \]
Avec:
\(\overrightarrow{\Gamma_a(M)}\) = accélération absolue de M dans le repère OXYZ
\( \overrightarrow{\Gamma_a(o)}\) = accélération absolue de o dans le repère OXYZ
\( \overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) = accélération relative de M dans le repère oxyz
\(\overrightarrow{V_r(M)}\) = vitesse relative de M dans le repère oxyz comme dans le paragraphe d'avant
\( \overrightarrow{\Omega}\) = vecteur rotation instantanée du repère oxyz par rapport au repère OXYZ (comme dans leparagraphe d'avant)
De la même manière, on peut définir l'accélération d'entrainement par \[\overrightarrow{\Gamma_e(M)} = \overrightarrow{\Gamma_a(o)} + \frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM} + \overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM)}\]
Le vecteur \( 2 \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\) est appelé "vecteur accélération complémentaire" ou encore "vecteur accélération de CORIOLIS".
on posera: \[\overrightarrow{\Gamma_c (M)} = 2 \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\]
et finalement, \[\boxed {\overrightarrow{\Gamma_a(M)} = \overrightarrow{\Gamma_e(M)} + \overrightarrow{\Gamma_c(M)} + \overrightarrow{\Gamma_r(M)}}\]
Démonstration
Nous avons \(\overrightarrow{\Gamma_a(M)} = \frac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2} = \frac{d^2 \overrightarrow{Oo}}{dt^2} + \frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2} = \overrightarrow{\Gamma_a(o)} + \frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2} \)
avec: \( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \overrightarrow{V_r(M)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM}\)
Dérivons cette expression:
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2} = \frac{d}{dt}( \frac{dx}{dt} \overrightarrow{i} + \frac{dy}{dt} \overrightarrow{j} + \frac{dz}{dt} \overrightarrow{k} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM})\)
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2}\) = \(\underbrace{(\frac{d^2x}{dt^2}\overrightarrow{i}+\frac{d^2y}{dt^2}\overrightarrow{j}+\frac{d^2z}{dt^2}\overrightarrow{k})}_{\textrm{acceleration relative de M / oxyz}}\) + \((\frac{dx}{dt}.\frac{d \overrightarrow{i}}{dt} + \frac{dy}{dt}.\frac{d \overrightarrow{j}}{dt} + \frac{dz}{dt}.\frac{d \overrightarrow{k}}{dt})\) + \(\frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt}\)
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) + \(\underbrace{\frac{dx}{dt}.(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{i}) + \frac{dy}{dt}.(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{j}) + \frac{dz}{dt}.(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{k})}_{\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt}+\frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM}\)
car nous avons montrer dans la composition des vitesses que \(\frac{d \overrightarrow{i}}{dt} = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{i}\), \(\frac{d \overrightarrow{j}}{dt} = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{j}\), \(\frac{d \overrightarrow{k}}{dt} = \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{k}\)
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt}+\frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM}\)
avec \( \frac{d \overrightarrow{oM}}{dt} = \overrightarrow{V_r(M)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM}\) (voir la composition des vitesses)
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{V_r(M)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM})\) + \(\frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM}\)
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM})\) + \(\frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM}\)
\(\frac{d^2 \overrightarrow{oM}}{dt^2}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) + \(\underbrace{2\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}}_{\overrightarrow{\Gamma_c(M)}}\) + \(\overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM})\) + \(\frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM}\)
Nous arrivons a l'accélération absolue de M 'dans le repère OXYZ):
\(\frac{d^2 \overrightarrow{OM}}{dt^2}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_a(M)}\) = \(\overrightarrow{\Gamma_r(M)}\) + \(\overrightarrow{\Gamma_c(M)}\) + \(\underbrace{\overrightarrow{\Gamma_a(o)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM}) + \frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM}}_{\overrightarrow{\Gamma_e(M)}}\)
En définitive:
\[\boxed{\overrightarrow{\Gamma_a(M)} = \overrightarrow{\Gamma_r(M)} + \overrightarrow{\Gamma_c(M)} + \overrightarrow{\Gamma_e(M)}}\]
avec:
- \(\overrightarrow{\Gamma_c(M)} = 2 \overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{V_r(M)}\) l'accélération de Coriolis
- \(\overrightarrow{\Gamma_e(M)} = \overrightarrow{\Gamma_a(o)} + \overrightarrow{\Omega} \wedge (\overrightarrow{\Omega} \wedge \overrightarrow{oM}) + \frac{d \overrightarrow{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{oM} \) l'accélération d'entrainement