Les grands principes ayant menés au développement de la formule de Laplace sont:
- développement complet du potentiel générateur de la marée comme somme de termes rigoureusement périodiques (de forme A sin(ωt+φ)).
- chaque terme peut être interprété comme le potentiel d’un astre fictif animé d’un mouvement circulaire uniforme dans le plan de l’équateur.
\[h(t)=\sum_{i=1}^{n}A_{i} sin(ω_i t+φ_i)\]
- \(A_i\): amplitude de l'onde
- \(ω_i\): la période de l'onde
- \(φ_i\): le déphasage de l'onde
Une marée est assimilée à la somme de marées élémentaires strictement périodiques, que l'on appelle les composantes harmoniques. Le nombre de termes dépend de l’avancée des théories astronomiques (Lunaires et Solaires) utilisées.
la formule de Darwin
En 1883, Darwin identifie 40 composantes harmoniques du potentiel générateur de la marée.
Il développe une formule non purement harmonique contenant des Facteurs Correctifs (compensation des variations de l’inclinaison de l’orbite lunaire,..) et édite les tables utiles pour prédire la marée. La formule devient alors:
\[h(t)=\sum_{i=1}^{n}f_i(t)A_{i} cos(Vo_i + ω_i t+u_i(t))\]
La forme de cette formule est toujours utilisée de nos jour. \(f_i(t)\) et \(u_i(t)\) sont des facteurs correctifs appelés facteurs nodaux. Ils sont:
- faibles et lentement variables
- disponibles sous forme de tables facilement utilisables
- ces tables constituent un moyen d'éviter des calculs lourds
La formule de Doodson
En 1921, Doodson développe à nouveau une formule purement harmonique, donc qui ne nécessite pas de facteurs correctifs. Il a affiné la formulation en prenant en compte 200 composantes d’onde de marée.
Et Aujourd'hui
La formule Harmonique donne aujourd'hui la hauteur d'eau en additionnant des fonctions sinusoïdales. Elle a été développée dans la continuité des travaux de Laplace mais sans hypothèse de linéarité (la célérité de l'onde de marée varie en fonction d'une multitude de paramètres). Elle sert pour les calculs de marée depuis 1992 seulement. Grâce à cette dernière, on peut éditer des horaires de marée pour chaque port principal. Les principales perturbations d’orbite lunaire ont été prises en compte lors de ce développement.
\[h(t)=Z_0+\sum_{i=1}^{n}h_icos(Vo_i + q_i t-G_i)\]
avec:
- \(Z_0\) est le niveau moyen rapporté au zéro des cartes, autour duquel oscille le niveau d'eau
- \(Vo_i\) est la valeur de l'argument astronomique pour t = 0
- \(h_i\) représentant l'amplitude
- \(G_i\) représentant la situation à Greenwich à un instant donné (comme φ)
- \(h_i\) et \(G_i\) sont des constantes harmoniques spécifiques à chaque port. Elle sont la carte d'identité de la marée dans un port ou un lieu donné. Elles sont listées et archivées au SHOM.
Cette formule, associée à une base de données, permet une utilisation informatique aisée afin de connaître la marée en tout lieu, pourvu que l'on connaisse les constantes harmoniques du lieu. C'est constantes harmoniques sont obtenues par observation, analyse de spectre etc etc etc.
C'est le résultat de cette formule qui vous permet de connaitre la hauteur d'eau en un lieu sur les diverses applications pour tablette et téléphone mobile.